Question

12．已知圆E：x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{9}{4}$，经过椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点F₁，F₂，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F₁，E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且与直线OA平行．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求三角形AMN的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意把焦点坐标代入圆的方程求出c，再由条件得F₁A为圆E的直径求出|AF₁|=3，根据勾股定理求出|AF₂|，根据椭圆的定义和a²=b²+c²依次求出a和b的值，代入椭圆方程即可；
（2）由（1）求出A的坐标、直线OA的斜率，设直线l的方程和M、N的坐标，联立直线和椭圆方程消去y，利用韦达定理和弦长公式求出|MN|，由点到直线的距离公式求出点A到直线l的距离，代入三角形的面积公式求出△AMN的面积S的表达式，化简后利用基本不等式求出面积的最大值，

解答 解：（1）如图圆E经过椭圆C的左右焦点F₁，F₂，
∴c²+（0-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{9}{4}$，解得c=$\sqrt{2}$，…（2分）
∵F₁，E，A三点共线，∴F₁A为圆E的直径，则|AF₁|=3，
∴AF₂⊥F₁F₂，∴|AF₂|²=9-8=1，
∵2a=|AF₁|+|AF₂|=3+1=4，∴a=2
由a²=b²+c²得，b=$\sqrt{2}$，…（4分）
∴椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1；…（5分）
（2）由（1）得点A的坐标（$\sqrt{2}$，1），直线l的斜率为k_OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（6分）
则设直线l的方程为y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+m，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立椭圆方程得，${x}^{2}+\sqrt{2}mx+{m}^{2}-2$=0，
∴x₁+x₂=-$\sqrt{2}m$，x₁x₂=m²-2，
且△=2m²-4m²+8＞0，解得-2＜m＜2，…（8分）
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₂-x₁|=$\sqrt{12-3{m}^{2}}$，
∵点A到直线l的距离d=$\frac{\sqrt{6}|m|}{3}$，
∴△AMN的面积S=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{12-3{m}^{2}}$×$\frac{\sqrt{6}|m|}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{（4-{m}^{2}）{m}^{2}}$≤$\sqrt{2}$…（10分）
当且仅当4-m²=m²，即m=$±\sqrt{2}$，三角形AMN的面积的最大值为$\sqrt{2}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，韦达定理和弦长公式，以及直线、圆与椭圆的位置关系等，考查的知识多，综合性强，考查化简计算能力，属于中档题．