Question

3．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}-{cos^2}x+\sqrt{3}sinxcosx$．
（1）求f（x）单调递增区间；
（2）△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足${b^2}+{c^2}-{a^2}＞\sqrt{3}bc$，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数，利用正弦函数的增减性确定出f（x）的单调增区间即可；
（2）利用余弦定理表示cosA，整理后代入已知不等式求出cosA的范围，进而求出A的范围，即可确定出f（A）的范围．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得到-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
则f（x）的增区间为[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]（k∈Z）；
（2）由余弦定理得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，即b²+c²-a²=2bccosA，
代入已知不等式得：2bccosA＞$\sqrt{3}$bc，即cosA＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A为△ABC内角，
∴0＜A＜$\frac{π}{6}$，
∵f（A）=sin（2A-$\frac{π}{6}$），且-$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{6}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜f（A）＜$\frac{1}{2}$，
则f（A）的范围为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．