Question

11．已知函数f（x）=2lnx-x²．
（1）求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（1）∵$f'（x）=-2x+\frac{2}{x}=-\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$
∴f'（1）=0，所求的切线斜率为0，又切点为（1，-1）
故所求切线方程为y=-1…（5分）
（2）∵$f'（x）=-\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$且x＞0
令f'（x）＞0得0＜x＜1，令f'（x）＜0得x＞1．
从而函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）
显然函数只有极大值，且极大值为f（1）=-1…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，是一道基础题．