Question

13．定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos²x-3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是[2，+∞）．

Answer 1

分析 ①令x=y=0，则f（0）=2f（0），则f（0）=0；再令y=-x，f（x）+f（-x）=f（0）=0，可得f（x）是奇函数．
②F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos²x-3）在（0，π）上有零点．f（-sinx-cos²x+3）在（0，π）上有解；根据函数f（x）是R上的单调函数，asinx=-sinx-cos²x+3在（0，π）上有解．x∈（0，π），sinx≠0；a=$\frac{-sinx-co{s}^{2}x+3}{sinx}$=sinx+$\frac{2}{sinx}$-1，令t=sinx，t∈（0，1]；则a=t+$\frac{2}{t}$-1；利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：①令x=y=0，则f（0）=2f（0），则f（0）=0；
再令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
且f（x）定义域为R，关于原点对称．
∴f（x）是奇函数．
②F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos²x-3）在（0，π）上有零点．
∴f（asinx）+f（sinx+cos²x-3）=0在（0，π）上有解；
∴f（asinx）=-f（sinx+cos²x-3）=f（-sinx-cos²x+3）在（0，π）上有解；
又∵函数f（x）是R上的单调函数，
∴asinx=-sinx-cos²x+3在（0，π）上有解．
∵x∈（0，π），
∴sinx≠0；
∴a=$\frac{-sinx-co{s}^{2}x+3}{sinx}$=sinx+$\frac{2}{sinx}$-1；
令t=sinx，t∈（0，1]；
则a=t+$\frac{2}{t}$-1；
∵y=t+$\frac{2}{t}$，${y}^{′}=1-\frac{2}{{t}^{2}}$＜0，因此函数y在（0，1]上单调递减，
∴a≥2．
故答案为：[2，+∞）．

点评 本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性、三角函数求值、换元法、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．