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    5．甲乙两人下棋比赛，规定谁比对方先多胜两局谁就获胜，比赛立即结束；若比赛进行完6局还没有分出胜负则判第一局获胜者为最终获胜且结束比赛．比赛过程中，每局比赛甲获胜的概率为$\frac{2}{3}$，乙获胜的概率为$\frac{1}{3}$，每局比赛相互独立．求：
    （1）比赛两局就结束且甲获胜的概率；
    （2）恰好比赛四局结束的概率；
    （3）在整个比赛过程中，甲获胜的概率．

    分析 （1）由题意可知比赛两局就结束且甲获胜必须第一、第二局比赛都是甲获胜，由此能求出比赛两局就结束且甲获胜的概率．
    （2）由题意知前两局比赛为平手，第三、第四局比赛为同一个人胜，由此能求出恰好比赛四局结束的概率．
    （3）由题意知在整个比赛过程中第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四比赛两人也为平手，第五、第六局都为甲获胜，或者在第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四局比赛两人也为平手，第五、第六局比赛为平手但第一局是甲获胜．由此能求出甲获胜的概率．

    解答 解：（1）由题意可知比赛两局就结束且甲获胜必须第一、第二局比赛都是甲获胜，
    ∴比赛两局就结束且甲获胜的概率为$P=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$；…（3分）
    （2）由题意知前两局比赛为平手，第三、第四局比赛为同一个人胜，
    ∴恰好比赛四局结束的概率为$P=C_2^1（{\frac{2}{3}}）（{\frac{1}{3}}）（{{{（{\frac{2}{3}}）}^2}+{{（{\frac{1}{3}}）}^2}}）$=$\frac{20}{81}$；…（7分）
    （3）由题意知在整个比赛过程中第一、第二局比赛两人为平手，
    第三、第四比赛两人也为平手，第五、第六局都为甲获胜，
    或者在第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四局比赛两人也为平手，
    第五、第六局比赛为平手但第一局是甲获胜．
    ∴在整个比赛过程中，甲获胜的概率为$P={[{C_2^1（{\frac{2}{3}}）（{\frac{1}{3}}）}]^2}{（{\frac{2}{3}}）^2}+（{\frac{2}{3}}）（{\frac{1}{3}}）{[{C_2^1（{\frac{2}{3}}）（{\frac{1}{3}}）}]^2}=\frac{32}{243}$．…（12分）

    点评 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式的合理运用．

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    x3456
    y2.5n44.5
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