Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MC}=0$，则点M到直线AB的最短距离为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $4-\sqrt{5}$
• C． $3-\sqrt{5}$
• D． $4-2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M到直线AB的最短距离．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
则P（2，0，2$\sqrt{3}$），C（0，4，0），
设M（a，b，0），0≤a≤4，0≤b≤4，则$\overrightarrow{MP}$=（2-a，-b，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{MC}$=（-a，4-b，0），
∵$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MC}=0$，
∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MC}$=-2a+a²-4b+b²=（a-1）²+（b-2）²=5，
∴M为底面ABCD内以O（1，2）为圆心，以r=$\sqrt{5}$为半径的圆上的一个动点，
∴点M到直线AB的最短距离为：4-1-$\sqrt{5}$=3-$\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 本题考查点到直线的距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．