Question

11．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的上顶点M与左、右焦点F₁，F₂构成三角形MF₁F₂面积为$\sqrt{3}$，又椭圆C的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，左右顶点分别为P，Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点D（m，0）（m∈（-2，2），m≠0）作两条射线分别交椭圆C于A，B两点（A，B在长轴PQ同侧），直线AB交长轴于点S（n，0），且有∠ADP=∠BDQ．求证：mn为定值；
（3）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的λ倍，求λ的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆离心率三角形的面积，解得a，b，即可得到椭圆方程．
（2）设AB：y=k（x-n）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及斜率关系，推出结果即可．
（3）设E（x₃，y₃），F（x₄，y₄），通过${S_{△TMN}}=\frac{1}{2}|{MN}||t|=|t|$，直线TM方程为：x=t（y-1），直线TN：3x-ty-t=0，联立直线与椭圆方程，求出E，F坐标，求出E到直线TN：3x-ty-t=0的距离，推出两个三角形的面积，利用基本不等式求解即可．

解答 解：（1）椭圆离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，又$bc=\sqrt{3}，{a^2}={b^2}+{c^2}$，解得a=2，b=1，
∴椭圆$C：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）由已知AB必有斜率，设AB：y=k（x-n）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-n）}\\{{x^2}+4{y^2}=4}\end{array}}\right.⇒（4{k^2}+1）x-8{k^2}nx+4{k^2}{n^2}-4=0，{x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}n}}{{4{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}{n^2}-4}}{{4{k^2}+1}}$.$∠ADP=∠BDQ⇒{k_{AD}}+{k_{BD}}=0⇒\frac{y_1}{{{x_1}-m}}+\frac{y_2}{{{x_2}-m}}=0⇒{y_1}（{x_2}-m）+{y_2}（{x_1}-m）=0$
⇒k（x₁-n）（x₂-m）+k（x₁-m）（x₂-m）=0⇒2x₁x₂-（m+n）（x₁+x₂）+2mn=0⇒mn=4．
（3）设E（x₃，y₃），F（x₄，y₄），因为${S_{△TMN}}=\frac{1}{2}|{MN}||t|=|t|$，
直线TM方程为：x=t（y-1），直线TN：3x-ty-t=0，
联立$\left\{{\begin{array}{l}{x=t（y-1）}\\{{x^2}+4{y^2}=4}\end{array}}\right.⇒{t^2}+4{y^2}-2{t^2}y+{t^2}-4=0⇒{y_3}•1=\frac{{{t^2}-4}}{{{t^2}+4}}⇒E（\frac{-8t}{{{t^2}+4}}，\frac{{{t^2}-4}}{{{t^2}+4}}）$，
联立$\left\{{\begin{array}{l}{3x=t（y+1）}\\{{x^2}+4{y^2}=4}\end{array}}\right.⇒{t^2}+36{y^2}+2{t^2}y+{t^2}-36=0⇒{y_4}•-1=\frac{{{t^2}-36}}{{{t^2}+36}}⇒F（\frac{24t}{{{t^2}+36}}，\frac{{36-{t^2}}}{{36+{t^2}}}）$，
所以E到直线TN：3x-ty-t=0的距离$d=\frac{{|{-\frac{24t}{{{t^2}+4}}-\frac{{t（{t^2}-4）}}{{{t^2}+4}}-t}|}}{{\sqrt{{t^2}+9}}}=\frac{{2|t|{t^2}+12}}{{\sqrt{{t^2}+9}（{t^2}+4）}}$，$|{TF}|=\sqrt{{{（{x_4}-t）}^2}+{{（{y_4}-2）}^2}}=\frac{{{t^2}+12\sqrt{{t^2}+9}}}{{{t^2}+36}}$，
∴${S_{△TEF}}=\frac{1}{2}|{TF}|d=\frac{{|t|（{t^2}+6）（{t^2}+12）}}{{（{t^2}+18）（{t^2}+2）}}$，$λ=\frac{{{S_{△TMN}}}}{{{S_{△TEF}}}}=\frac{{{t^2}+36（{t^2}+4）}}{{{{（{t^2}+12）}^2}}}=1+\frac{{16{t^2}}}{{{t^4}+24{t^2}+144}}=1+\frac{16}{{{t^2}+\frac{144}{t^2}+24}}≤\frac{4}{3}$
（取等条件${t^2}=12⇒t=±2\sqrt{3}$），
λ的最大值为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．