Question

3．已知函数f（x）=ax²+bx+clnx（a，b，c∈R）．
（1）当a=-1，b=2，c=0时，求曲线y=f（x）在点（2，0）处的切线方程；
（2）当a=1，b=0时，求函数f（x）的极值；
（3）当b=-2a，c=1时，是否存在实数a，使得0＜x≤2时，函数y=f（x）图象上的点都在$\left\{\begin{array}{l}0＜x≤2\\ x-y-1≥0\end{array}\right.$所表示的平面区域内（含边界）？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把当a=-1，b=2，c=0代入函数解析式，求得函数的导函数，得到函数在x=2时的导数，然后由直线方程的点斜式得答案；
（2）求出函数的导数，通过讨论c的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（3）根据ax²-（2a+1）x+1+lnx≤0，设g（x）=ax²-（2a+1）x+1+lnx，则问题等价于x∈（0，2]时，g（x）_max≤0，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而判断出结论即可．

解答 解：（1）当a=-1，b=2，c=0时，f（x）=-x²+2，
则f′（x）=-2x+2，f′（2）=-2，
∴所求的切线方程为y=-2（x-2），即2x+y-4=0；
（2）f（x）=x²+clnx，x＞0，f′（x）=2x+$\frac{c}{x}$=$\frac{{2x}^{2}+c}{x}$，
c≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，无极值，
c＜0时，令f′（x）=0，得x²=-$\frac{c}{2}$，解得：x=$\sqrt{-\frac{c}{2}}$，
0＜x＜$\sqrt{-\frac{c}{2}}$时，f′（x）＜0，x＞$\sqrt{-\frac{c}{2}}$时，f′（x）＞0，
∴x=$\sqrt{-\frac{c}{2}}$时，f（x）取得极小值f（$\sqrt{-\frac{c}{2}}$）=$\frac{c}{2}$ln（-$\frac{c}{2}$）-$\frac{c}{2}$，
f（x）无极大值；
（3）f（x）=ax²-2ax+lnx，由题意得0＜x≤2时，f（x）≤x-1，
即ax²-（2a+1）x+1+lnx≤0，
设g（x）=ax²-（2a+1）x+1+lnx，
则问题等价于x∈（0，2]时，g（x）_max≤0，
g′（x）=2ax-（2a+1）+$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-1）（2ax-1）}{x}$，
①a≤0时，g′（1）=0，0＜xx＜1时，g′（x）＞0，x＞1时，g′（x）＜0，
∴g（x）max=g（1）=-a≤0，
∴a≥0，故a=0满足题意；
②a＞0时，g′（x）=$\frac{2a（x-1）（x-\frac{1}{2a}）}{x}$，
$\frac{1}{2a}$=1即a=$\frac{1}{2}$时，g′（x）≥0，g（x）在（0，+∞）递增，
x∈（0，2]时，g（x）_max=g（2）=-1+ln2＜0，满足题意；
$\frac{1}{2a}$＞1即0＜a＜$\frac{1}{2}$时，g（x）在（0，1）和（$\frac{1}{2a}$，+∞）递增，在（1，$\frac{1}{2a}$）递减，
g（1）=-a＜0，g（2）=-1+ln2＜0，
∴x∈（0，2]时，g（x）_max＜0；
0＜$\frac{1}{2a}$＜1即a＞$\frac{1}{2}$时，g（x）在（0，$\frac{1}{2a}$）和（1，+∞）递增，在（$\frac{1}{2a}$，1）递减，
g（$\frac{1}{2a}$）=-$\frac{1}{4a}$+ln$\frac{1}{2a}$＜0，g（2）=-1+ln2＜0，
∴x∈（0，2]时，g（x）max≤0，满足题意；
综上，存在实数a满足题意，a的范围是[0，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及法；以及分类讨论思想、转化思想和切线方程问题，是一道综合题．