Question

13．设a＞0，b＞0．若$\sqrt{3}$是3^a与3^2b的等比中项，则$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为8．

Answer 1

分析 根据题意，由等比数列的性质可得3^a×3^2b=（$\sqrt{3}$）²，变形化简可得a+2b=1，进而有$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=（a+2b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$）=4+（$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$），结合基本不等式可得$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值，即可得答案．

解答 解：根据题意，若$\sqrt{3}$是3^a与3^2b的等比中项，
则有3^a×3^2b=（$\sqrt{3}$）²，即3^a+2b=3，
则有a+2b=1；
则$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=（a+2b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$）=4+（$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$）≥4+2$\sqrt{4}$=8；
即$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为8；
故答案为：8．

点评 本题考查基本不等式的运用，涉及等比数列的性质，关键是求出a+2b=1．