Question

5．已知数列{a_n}的各项均不为0，a₁=$\frac{1}{2}$，且满足3a_n+1-a_n+2a_n+1a_n=0，数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{a_n}$+1．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）若c_n=$\frac{n}{a_n}$，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）3a_n+1-a_n+2a_n+1a_n=0，a_n≠0，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+2，变形为：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=$3（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，b_n+1=3b_n．即可证明．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=$\frac{1}{a_n}$+1=3ⁿ．可得a_n=$\frac{1}{{3}^{n}-1}$，c_n=$\frac{n}{a_n}$=n×3ⁿ-n，再利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵3a_n+1-a_n+2a_n+1a_n=0，a_n≠0，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+2，变形为：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=$3（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{a_n}$+1．∴b_n+1=3b_n．
∵a₁=$\frac{1}{2}$，∴b₁=3，
∴b_n=$\frac{1}{a_n}$+1≠0．
∴数列{b_n}是首项为3，公比为3的等比数列．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，b_n=$\frac{1}{a_n}$+1=3ⁿ．
∴a_n=$\frac{1}{{3}^{n}-1}$，…（5分）
∴c_n=$\frac{n}{a_n}$=n×3ⁿ-n，…（7分）
∴S_n=1×3+2×3²+…+n×3ⁿ-（1+2+…+n），…（8分）
设T_n=1×3+2×3²+…+n×3ⁿ，①
∴3T_n=1×3²+2×3³+…+（n-1）×3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹，②
①-②得，-2T_n=3+3²+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n×3ⁿ⁺¹=$\frac{（1-2n）×{3}^{n+1}}{2}$-$\frac{3}{2}$，
解得T_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n+1}}{4}$+$\frac{3}{4}$．
∴S_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n+1}}{4}$+$\frac{3}{4}$-$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的定义通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．