Question

20．在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥，且$PB=\sqrt{10}$．
（1）求证：BD⊥平面POA；
（2）求二面角B-AP-O的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出BD∥EF，BD⊥AC，EF⊥AC，从而EF⊥AO，EF⊥PO，由此能证明BD⊥平面POA．
（2）设AO∩BD=H，连接BO，以O为原点，OF所在直线为x轴，AO所在直线y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角B-AP-O的余弦值．

解答 证明：（1）∵点E，F分别为CD，CB的中点，∴BD∥EF，
∵菱形ABCD的对角线互相垂直，
∴BD⊥AC，∴EF⊥AC，∴EF⊥AO，EF⊥PO，
∵AO?平面POA，PO?平面POA，AO∩PO=O，
∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA．
解：（2）设AO∩BD=H，连接BO，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，
∴$BD=4，BH=2，HA=2\sqrt{3}，HO=PO=\sqrt{3}$，
在Rt△BHO中，$BO=\sqrt{B{H^2}+H{O^2}}=\sqrt{7}$，
在△PBO中，BO²+PO²=10=PB²，∴PO⊥BO，
∵PO⊥EF，EF∩BO=O，EF?平面BFED，∴PO⊥平面BFED，
以O为原点，OF所在直线为x轴，AO所在直线y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则$A（{0，-3\sqrt{3}，0}），B（{2，-\sqrt{3}，0}），P（{0，0，\sqrt{3}}），H（{0，-\sqrt{3}，0}）$．
∴$\overrightarrow{AP}=（{0，3\sqrt{3}，\sqrt{3}}），\overrightarrow{AB}=（{2，2\sqrt{3}，0}）$，
设平面PAB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=3\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2x+2\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}，1，-3$），
∵BD⊥平面POA，AO∩BD=H，∴平面PAO的一个法向量为$\overrightarrow{BH}$=（-2，0，0），
设二面角B-AP-O的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BH}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{BH}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}×2}$=$\frac{\sqrt{39}}{13}$，
∴二面角B-AP-O的余弦值为$\frac{\sqrt{39}}{13}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．