Question

12．已知函数$f（x）=\frac{3-a}{{{a^x}+1}}+asinx$，那么下列命题正确的是（　　）

• A． 若a=0，则y=f（x）与y=3是同一函数
• B． 若0＜a≤1，则$f（-\frac{π}{2}）＜f（2-{log_3}2）＜f[{（\frac{1}{3}）^{{{log}_3}\frac{2}{3}}}]＜f（{log_3}5）＜f（\frac{π}{2}）$
• C． 若a=2，则对任意使得f（m）=0的实数m，都有f（-m）=1
• D． 若a＞3，则f（cos2）＜f（cos3）

Answer 1

分析 A，若a=0，则y=f（x）的定义域为{x|x≠0}，y=3定义域为R，不是同一函数；
B，若0＜a≤1时，可得函数f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上为增函数，即可判断；
C，a=2时，f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}+1}+asinx$，f（x）+f（-x）=$\frac{1}{{2}^{x}+1}+asinx+\frac{1}{{2}^{-x}+1}+asin（-x）$=$\frac{1}{{2}^{x}+1}+\frac{1}{{z}^{-x}+1}=1$，即可判定；
D，当a＞3时，f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上为增函数，且cos2＞cos3，即可判定．

解答 解：对于A，若a=0，则y=f（x）的定义域为{x|x≠0}，y=3定义域为R，不是同一函数，故错；
对于B，若0＜a≤1时，可得函数f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上为增函数，∵$（\frac{1}{3}）^{lo{{g}_{3}}^{\frac{2}{3}}}$=$\frac{3}{2}=lo{g}_{3}\sqrt{27}＞lo{g}_{3}5$，故错；
对于C，a=2时，f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}+1}+asinx$，f（x）+f（-x）=$\frac{1}{{2}^{x}+1}+asinx+\frac{1}{{2}^{-x}+1}+asin（-x）$=$\frac{1}{{2}^{x}+1}+\frac{1}{{z}^{-x}+1}=1$，∴则对任意使得f（m）=0的实数m，都有f（-m）=1，正确；
对于D，当a＞3时，f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上为增函数，且cos2＞cos3，则f（cos2）＞f（cos3），故错．
故选：C

点评 本题考查了命题真假的判定，涉及到函数的性质，属于基础题．