Question

3．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
（1）证明：BE⊥DC；
（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（3）求二面角A-BD-P的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PD中点M，连接EM，AM，推导出四边形ABEM为平行四边形，CD⊥平面PAD，由此能证明BE⊥DC．
（2）连接BM，推导出PD⊥EM，PD⊥AM，从而直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角，由此能求出直线BE与平面PDB所成角的正弦值．
（3）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BD-P的余弦值．

解答 证明：（1）如图，取PD中点M，连接EM，AM．∵E，M分别为PC，PD的中点，∴EM∥DC，且EM=$\frac{1}{2}$DC，
又由已知，可得EM∥AB，且EM=AB，
∴四边形ABEM为平行四边形，∴BE∥AM．
∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AM，
∴BE⊥DC．
解：（2）连接BM，由（1）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，
而EM∥CD，∴PD⊥EM．
又∵AD=AP，M为PD的中点，∴PD⊥AM，
∴PD⊥BE，∴PD⊥平面BEM，
∴平面BEM⊥平面PBD．
∴直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，
∵BE⊥EM，∴∠EBM为锐角，
∴∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．
依题意，有PD=2$\sqrt{2}$，而M为PD中点，
∴AM=$\sqrt{2}$，∴BE=$\sqrt{2}$．
∴在直角三角形BEM中，sin∠EBM=$\frac{EM}{BM}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线BE与平面PBD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（3）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
$\overrightarrow{BD}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{BP}$=（-1，0，2），
设平面BDP的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，1），
平面ABD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角A-BD-P的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴二面角A-BD-P的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．