Question

18．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x-{sin^2}x$
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若$f（α）=2，α∈[{\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}}]$，求cos2α的值．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的单调性写出它的单调增区间；
（2）根据f（x）的解析式，结合α的取值范围，利用三角函数关系即可求出cos2α的值．

解答 解：（1）函数$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x-{sin^2}x$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+2•$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{1-cos2x}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z；
（2）∵f（α）=$\sqrt{3}$sin（2α+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$=2，
∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又α∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]，
∴$\frac{π}{2}$≤2α+$\frac{π}{3}$≤$\frac{7π}{6}$，
∴2α+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，
∴2α=$\frac{π}{3}$，
∴cos2α=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的化简求值以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．