Question

14．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点．若向量$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$与向量$\overrightarrow{a}$=（3，-1）共线，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．F（-c，0）．直线l的方程为：y=x+c，与椭圆方程联立化为：（a²+b²）x²+2ca²x+a²c²-a²b²=0，根据向量$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$与向量$\overrightarrow{a}$=（3，-1）共线，及其根与系数的关系即可得出．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．F（-c，0）．
直线l的方程为：y=x+c，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：（a²+b²）x²+2ca²x+a²c²-a²b²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-2c{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，y₁+y₂=x₁+x₂+2c=$\frac{2c{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴向量$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（$\frac{-2c{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，$\frac{2c{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$），
∵向量$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$与向量$\overrightarrow{a}$=（3，-1）共线，
∴-$\frac{-2c{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$-3×$\frac{2c{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=0，
∴a²=3b²，
∴$e=\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量共线定理、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．