Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁上的点、F为DB的中点．
（Ⅰ）求直线B₁F与平面CDD₁C₁所成角的正弦值；
（Ⅱ）若直线EF∥平面ABC₁D₁，试确定点E的位置．

Answer 1

（Ⅰ）∵平面ABB₁A₁∥平面CDD₁C₁
∴直线B₁F与平面CDD₁C₁所成角等于直线FB₁与平面ABB₁A₁所成的角（2分）
取AB中点P，连接FP和B₁P
由已知可得FP⊥AB，FP⊥BB₁，故FP⊥平面ABB₁A₁
∴B₁F与平面ABB₁A₁所成的角即为∠FB₁P（4分）
在Rt△FPB₁中，sin∠FB1P=

FP

FB1

=

6

6

即B₁F与平面CDD₁C₁所成角的正弦值为

6

6

．（6分）
（Ⅱ）连接BD₁，则平面BDD₁B₁过EF与平面ABC₁D₁交于BD₁
由EF∥平面ABC₁D₁可得EF∥BD₁
又因为F为DB的中点
故得E也必须为DD₁的中点．（12分）