Question

如图，在五面体P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=60°，AB=4，AD=2，PB=

15

，PD=

3

．
（1）求证：BD⊥平面PAD；
（2）若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P-BC-A的大小．

Answer 1

解（1）由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°，
得BD²=AD²+AB²-2AD•ABcos60°=4+16-2×2×4×

1

2

=12．
∴AB²=AD²+BD²，∴△ABD是直角三角形，
∠ADB=90°，即AD⊥BD．
在△PDB中，PD=

3

，PB=

15

，BD=

12

，
∴PB²=PD²+BD²，故得PD⊥BD．
又PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD．
（2）∵BD⊥平面PAD，BD?平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD．
作PE⊥AD于E，又PE?平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，
∴∠PDE是PD与底面BCD所成的角，∴∠PDE=60°，
∴PE=PDsin60°=

3

•

3

2

=

3

2

作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BC，∴∠PFE是二面角P-BC-A的平面角．
又EF=BD=

12

，∴在Rt△PEF中，
tan∠PFE=

PE

EF

=

3 2

2 3

=

3

4

．
故二面角P-BC-A的大小为arctan

3

4

．