Question

已知二面角α-AB-β为120°，AC?α，BD?β，且AC⊥AB，BD⊥AB，AB=AC=BD=a，则CD的长为______．

Answer 1

由题意，作出如图的图象，在平面β中可过A作AB的垂线，过D作BD的垂线，两者交于E连接CE，
由作图知，四边形ABDE是矩形，故有DE=AB=a，AE=BD=a，AE⊥AB
又AC⊥AB，易得AB⊥面ACE，即有CE⊥AB，进而得CE⊥DE
有二面角的平面角的定义知，∠CAE=120°
在△CAE中，由余弦定义可得CE²=a²+a²-2×a²×（-

1

2

）=3a²，故CE=

3

a
在直角三角形CED中，由勾股定理得CD²=DE²+CE²=a²+3a²=4a²，
可得CD的长为2a
故答案为：2a．