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已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E、F分别是AB、PD的中点.
(Ⅰ)求证:AF平面PEC;
(Ⅱ)求PC与平面ABCD所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角P-EC-D的余弦值.
(Ⅰ)取PC的中点O,连接OF、
OE.∴FODC,且FO=
1
2
DC
∴FOAE
又E是AB的中点.且AB=DC.∴FO=AE.
∴四边形AEOF是平行四边形.∴AFOE
又OE?平面PEC,AF?平面PEC
∴AF平面PEC
(Ⅱ)连接AC
∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角
在Rt△PAC中,tan∠PCA=
PA
AC
=
1
5
=
5
5

即直线PC与平面ABCD所成的角正弦值为
6
6

(Ⅲ)作AM⊥CE,交CE的延长线于M.连接PM,由三垂线定理.得PM⊥CE
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角.
由△AME△CBE,可得AM=
2
2
,∴tan∠PMA=
PA
AM
=
2

∴二面角P一EC一D的余弦值为
6
6
练习册系列答案
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15
,PD=
3

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2
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