Question

下列命题中：（1）若满足，满足，则；

（2）函数且的图象恒过定点Ａ，若Ａ在 上，其中则的最小值是； （3）设是定义在Ｒ上，以１为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为； （4）已知曲线与直线仅有２个交点，则； （5）函数图象的对称中心为（2，1）。

其中真命题序号为 ．

 

Answer 1

(2)(3)(5)

【解析】

试题分析：

(1) 若满足,则时,代入左边有,当时,代入左边有,所以此时方程中;满足,则时代入左边有,当时代入左边有,所以此时方程中.

所以,错误.

(2)函数且的图像恒过定点,因为在直线上,代入有,可得.则,因为所以,根据均值不等式可知,当且仅当,即时取得等号.正确.

(3) 因为函数在上的值域为,设,则,所以,因为是定义在Ｒ上，以１为周期的函数,所以,则有,所以此时令,则函数的值域是在值域基础上上移2个单位得到的为;同理可设,通过寻找值域关系可得的值域为.综上可知在上的值域为.正确;

(4) 根据曲线方程知,可化简为,表示以为圆心,1为半径的圆的轴及其以上部分的曲线.直线表示经过定点有斜率的直线.因为两者有两个交点,所以画图可知,当直线与曲线相切时,,当恰有两个交点时,直线过原点,所以,综上可知,错误.

(5) 函数的定义域为.

如果函数图象的对称中心为,那么函数上的点关于的对称点也在函数上.

所以根据对数的运算法则可得.即;

将代入函数式,所以函数过点,显然成立.所以正确.

考点：对数,指数运算;均值不等式,1的代换;周期性应用;直线与曲线的位置关系;中心对称的应用.