Question

14．已知函数f（x）=|x|+|x-1|．
（Ⅰ）若f（x）≥|m-1|恒成立，求实数m的最大值M；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数m，n，p满足m+n+p=$\frac{3}{2}$M，求证：mn+np+pm≤3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，得出f（x）_min=1，由题意知，只需|m-1|≤1，解出m的范围，即可求实数m的最大值M；
（Ⅱ）由基本不等式，可以解得m²+n²+p²≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p）²=m²+n²+p²+2mn+2mp+2np=9，代入m²+n²+p²≥mn+mp+np，即可证得．

解答 （Ⅰ）解：由已知可得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-2x，x＜0\\ 1，0≤x＜1\\ 2x-1，x≥1\end{array}\right.$，所以f（x）_min=1，
由题意知，只需|m-1|≤1，解得-1≤m-1≤1，∴0≤m≤2，．
所以实数m的最大值M=2．
（Ⅱ）证明：∵m+n+p=$\frac{3}{2}$M=3，
∴（m+n+p）²=m²+n²+p²+2mn+2np+2mp=9，
∵m，n，p正实数，
∴m²+n²≥2mn，m²+p²≥2mp，n²+p²≥2np，
∴由均值不等式，得m²+n²+p²≥mn+np+mp（当且仅当m=n=p时取等号），
∴（m+n+p）²=m²+n²+p²+2mn+2np+2mp=9≥3mn+3np+3mp，
∴mn+np+pm≤3（当且仅当m=n=p时取等号）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题．