Question

设函数f（x）=sin（

πx

4

-

π

6

）-2cos²

πx

8

+1．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）设函数g（x）=f（2-x），求当x∈[0，

4

3

]时，函数g（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与差的三角函数直接化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，即可求f（x）的最小正周期．
（2）通过g（x）=f（2-x），化简g（x）的表达式，利用x∈[0，

4

3

]，求出相位的范围，利用余弦函数的值域求解函数g（x）的最大值．

解答：（本题满分14分）
解：（1）函数f（x）=sin（

πx

4

-

π

6

）-2cos²

πx

8

+1
=

3

2

sin

πx

4

-

1

2

cos

πx

4

-cos

πx

4

=

3

2

sin

πx

4

-

3

2

cos

πx

4

=

3

sn（

πx

4

-

π

3

）…（4分）
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

π 4

=8…（6分）
（2）由题意得：g（x）=f（2-x）=

3

sn[

π

4

(2-x)-

π

3

]=

3

cos(

πx

4

+

π

3

)
当0≤x≤

4

3

时，

π

3

≤

πx

4

+

π

3

≤

2π

3

，
因此y=g（x）在区间[0，

4

3

]上的最大值为：

3

cos

π

3

=

3

2

．…（14分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数，正弦函数的周期余弦函数的值域的求法，考查计算能力．