Question

若?x∈[1，2]，使不等式x²-mx+4＞0成立，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：分离变量可得所以m＜

x2+4

x

，因为?x∈[1，2]，使得m＜

x2+4

x

成立，只需m小于f（x）的最大值，然后构造函数，由导数求其单调性，可得取值范围．

解答： 解：不等式x²-mx+4＞0可化为mx＜x²+4，因为?x∈（1，5），所以m＜

x2+4

x

，
记函数f（x）=

x2+4

x

=x+

4

x

，x∈[1，2]，只需m小于f（x）的最大值，
由f′（x）=1-

4

x2

=0，可得x=2，而且当x∈[1，2]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
故最大值为f（1），又f（1）=5．m的取值范围是：（-∞，5）．
故答案为：（-∞，5）．

点评：本题为参数范围的求解，构造函数利用导数工具求取值范围是解决问题的工关键，本题要和恒成立区分，易错求成函数的最小值．