Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，当x=-1，f（x）有极大值7；当x=3时，f（x）有极小值．
（Ⅰ）求a，b，c的值．
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-（m-9）x（m∈R），讨论g（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）因为当x=-1时，f（x）有极大值，当x=3时，f（x）有极小值，所以把x=-1和3代入导数，导数都等于0，就可得到关于a，b，c的两个等式，再根据极大值等于7，又得到一个关于a，b，c的等式，三个等式联立，即可求出a，b，c的值．
（2）设g（x）=f（x）-（m-9）x（m∈R），先求导数然后在函数的定义域内解不等式g′（x）＞0和g′（x）＜0，g′（x）＞0的区间为单调增区间，g′（x）＜0的区间为单调减区间．

解答：解：（1）∴f（x）=x³+ax²+bx+c
∵f′（x）=3x²+2ax+b
而x=-1和x=3是极值点，
所以

f′(-1)=3-2a+b=0  f′(3)=27+6a+b=0

，解之得：a=-3，b=-9
又f（-1）=-1+a-b+c=-1-3+9+c=7，故得c=2；
（2）设g（x）=f（x）-（m-9）x=x³-3x²-9x+2-（m-9）x=x³-3x²-mx+2，
则g′（x）=3x²-6x-m，
①当△=36+12m＞0，即m＞-3时，
若令g′（x）＞0，解得x＞3+

36+12m

2

或x＜3-

36+12m

2

，
若令g′（x）＜0，解得3-

36+12m

2

＜x＜3+

36+12m

2

，
则g（x）的区间为单调增区间（-∞，3-

36+12m

2

），（3+

36+12m

2

，+∞），
g（x）的区间为单调减区间（3-

36+12m

2

，3+

36+12m

2

）；
②当△=36+12m＞0，即m=-3时，
若令g′（x）＞0，解得x＜-1或x＞1，
则g（x）的区间为单调增区间（-∞，-1），（1，+∞），无单调减区间；
③当△=36+12m＜0，即m＜-3时，
则g′（x）＞0在（-∞，+∞）上恒成立，
则g（x）的区间为单调增区间（-∞，+∞），无单调减区间．
综上，①当m＞-3时，g（x）的区间为单调增区间（-∞，3-

36+12m

2

），（3+

36+12m

2

，+∞），
g（x）的区间为单调减区间（3-

36+12m

2

，3+

36+12m

2

）；
②当m=-3时，g（x）的区间为单调增区间（-∞，-1），（1，+∞），无单调减区间；
③当m＜-3时，g（x）的区间为单调增区间（-∞，+∞），无单调减区间．

点评：本题主要考查导数在求函数的极值中的应用，做题时要细心．理解极值与导数的对应关系及极值的判断规则是解题的关键，本题是导数应用题，常见题型