Question

3．在△ABC中，已知A，B，C分别为边a，b，c所对的角，已知$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=2$，a+b=ab，其面积$S=\sqrt{3}$，则边c=2．

Answer 1

分析 由平面向量数量积的运算得到ab•cosC=2，结合正弦定理得到C；最后根据余弦定理可以求得c的值．

解答 解：∵在△ABC中，已知A，B，C分别为边a，b，c所对的角，已知$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=2$，
∴ab•cosC=2，①
∵$S=\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$absinC=$\sqrt{3}$，则absinC=2$\sqrt{3}$，②
由①②得到tanC=$\sqrt{3}$．
∵0＜C＜180°，
∴C=60°．
∵a+b=ab，
∴ab=$\frac{2}{\frac{1}{2}}$=4，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=4²-2×4=8，
再由余弦定理可得 c²=a²+b²-2ab•cosC=8-4=4，
则c=2（舍去负值）．
故答案是：2．

点评 本题考查了正弦定理和平面向量数量积的运算，考查运算能力，属于基础题．