Question

已知f（x）是二次函数，f′（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立．
（I）求f（x）的解析表达式；
（II）求证：当x＞1时，f(x)≥2lnx-

4

3

x3+1．

Answer 1

分析：（I）利用待定系数法，设出函数解析式，根据对任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立，建立方程，即可求得函数解析式；
（II）构造函数g（x）=f(x)-(2lnx-

4

3

x3+1)，证明函数在g（x）在（1，+∞）上单调递增，由此可证不等式．

解答：（I）解：设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），则f′（x）=2ax+b
∵f′（x）=f（x+1）+x²，
∴2ax+b=a（x+1）²+b（x+1）+c+x²，
∴2ax+b=（1+a）x²+（2a+b）x+a+b+c
∵对任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立．
∴

1+a=0 2a=2a+b b=a+b+c

∴a=-1，b=0，c=1
∴f（x）=-x²+1；
（II）证明：令g（x）=f(x)-(2lnx-

4

3

x3+1)=-x2-2lnx+

4

3

x3
∴g′（x）=-2x-

2

x

+4x²=

2(x-1)(2x2+x+1)

x

∵x＞1，∴g′（x）＞0
∴g（x）在（1，+∞）上单调递增
∴g（x）＞g（1）=0
∴f(x)-(2lnx-

4

3

x3+1)＞0
∴当x＞1时，f(x)≥2lnx-

4

3

x3+1．

点评：本题考查函数解析式，考查导数知识的运用，考查利用导数证明不等式，解题的关键是构造不等式，证明函数的单调性．