Question

【题目】在三棱柱中，是正三角形，，点在底面上的射影恰好是中点，侧棱和底面成角.

（1）求证：；

（2）求二面角的大小；

（3）求直线与平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）二面角的大小为.

（3）直线与平面所成角为

【解析】

(1)先证明平面，根据线面垂直的定义即可得结论；

(2)建立空间直角坐标系，分别求出平面，平面的法向量，求出两法向量的夹角，结合图形即可求解；

(3)根据（2）求出的平面的法向量，结合直线的方向向量，即可求解.

(1)连接，因为为的中点，为正三角形，所以,由点在底面上的射影为，所以平面,所以所以平面,又平面,所以.

(2)以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系如图. 则 因为侧棱和底面成角，所以,则,设平面的一个法向量为，则即令，则.设平面的一个法向量为，则即令，则.所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.

(3)由（2）可知平面的法向量为，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角为