Question

19．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x（a∈R），若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析 对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x＞0上恒成立即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-2=-$\frac{a{x}^{2}+2x-1}{x}$，（x＞0）
依题意f'（x）≥0在x＞0时恒成立，
即ax²+2x-1≤0在x＞0恒成立．
则a≤$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1在x＞0恒成立，
即a≤（（$\frac{1}{x}$-1）²-1）_min（x＞0）
当x=1时，（$\frac{1}{x}$-1）²-1取最小值-1，
∴a的取值范围是（-∞，-1]．

点评 本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，属于中档题．