Question

4．已知△ABC三个顶点的直角坐标分别为A（3，4）、B（0，0）、C（c，0）．
（Ⅰ）若AB⊥BC，求c的值；
（Ⅱ）若c=5，求sin∠A的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出AB、BC对应向量的坐标，利用向量垂直数量积为0，得到关于c的等式解之；
（Ⅱ）利用向量的数量积公式求出∠A的余弦值，然后利用平方关系求正弦值．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{AB}=（-3，-4）$$\overrightarrow{AC}=（c-3，-4）$
由  $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=-3（c-3）+16=25-3c=0$
得  $c=\frac{25}{3}$（5分）
（Ⅱ）$\overrightarrow{AB}=（-3，-4）$，$\overrightarrow{AC}=（2，-4）$
所以$cos∠A=\frac{{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|•|{\overrightarrow{AC}}|}}=\frac{-6+16}{{5\sqrt{20}}}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}$
$sin∠A=\sqrt{1-{{cos}^2}∠A}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$（12分）

点评 本题考查了向量垂直的性质以及利用数量积公式求向量的夹角，属于基础题．