Question

15．设z是虚数，ω=z+$\frac{1}{z}$是实数，且-1＜ω＜2．
（1）求|z|的值；
（2）求z的实部的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据复数的模长公式即可求|z|的值；
（2）根据ω的取值范围即可求z的实部的取值范围．

解答 解：（1）设z=a+bi（a，b∈R且b≠0），
则ω=z+$\frac{1}{z}$=a+bi+$\frac{1}{a+bi}$=（a+$\frac{a}{{a}^{2}+{b}^{2}}$）+（b-$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$）i，
∵ω=z+$\frac{1}{z}$是实数，
∴b-$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=0，∵b≠0，
∴$\frac{1}{{a}^{2}+{b}^{2}}=1$，即a²+b²=1，则|z|=1．
（2）∵a²+b²=1，∴ω=2a，
由-1＜ω＜2得-1＜2a＜2，得-$\frac{1}{2}$＜ω＜1．

点评 本题主要考查复数的基本运算和复数的有关概念，比较基础．