Question

5．新建的荆州中学拟模仿图甲建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤8）单位：米）；曲线BC是抛物线y=ax²+18（a＜0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB=18米．

（Ⅰ）若要求CD=10米，AD=14米，求t与a的值；
（Ⅱ）若a=-$\frac{1}{36}$，将AD的长表示为点E的纵坐标t的函数f（t），并求AD的最大值．并求f（t）的最大值．（参考公式：若f（x）=$\sqrt{c-x}$，则f′（x）=-$\frac{1}{2\sqrt{c-x}}$，其中c为常数）

Answer 1

分析 （1）由题意可求得t=OB-EB=OB-CD=18-10=8，从而写出圆E的方程为x²+（y-8）²=100；从而求得C（8，10）在抛物线y=ax²+18上，从而求a；
（2）化简圆E的方程为x²+（y-t）²=（18-t）²，从而写出A（-$\sqrt{324-36t}$，0）；即OA=6$\sqrt{9-t}$；再求出OD=6$\sqrt{t}$；从而得到f（t）=6$\sqrt{9-t}$+6$\sqrt{t}$（0＜t≤8）；求导
f′（t）=6（$\frac{-1}{2\sqrt{9-t}}$+$\frac{1}{2\sqrt{t}}$）=3-$\frac{\sqrt{9-t}-\sqrt{t}}{\sqrt{9-t}\sqrt{t}}$；从而判断函数的单调性，从而求最大值．

解答 解：（1）由已知有，
t=OB-EB=OB-CD=18-10=8，
∴圆E的方程为x²+（y-8）²=100；
令y=0得A（-6，0），又AD=14，
∴OD=8，
即C（8，10）在抛物线y=ax²+18上，
∴a=-$\frac{1}{8}$；
（2）由题意得，CD=18-t，
∴圆E的方程为x²+（y-t）²=（18-t）²
令y=0得x²=324-36t，
∴A（-$\sqrt{324-36t}$，0）；
∴OA=6$\sqrt{9-t}$；
由18-t=-$\frac{{x}^{2}}{36}$+18得x²=36t；
∴OD=6$\sqrt{t}$；
又AD=AO+OD=6$\sqrt{9-t}$+6$\sqrt{t}$；
∴f（t）=6$\sqrt{9-t}$+6$\sqrt{t}$（0＜t≤8）；
f′（t）=6（$\frac{-1}{2\sqrt{9-t}}$+$\frac{1}{2\sqrt{t}}$）=3-$\frac{\sqrt{9-t}-\sqrt{t}}{\sqrt{9-t}\sqrt{t}}$；
令f′（t）=0得t=$\frac{9}{2}$，
当0＜t＜$\frac{9}{2}$时，f′（t）＞0，f（t）单调递增；
当$\frac{9}{2}$＜t≤8时，f′（t）＜0，f（t）单调递减；
故t=$\frac{9}{2}$时，f_max（t）=18$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了导数的综合应用，属于难题．