Question

13．已知i是虚数单位，复数z满足（z-2）i=-3-i．
（1）求z；
（2）若复数$\frac{x+i}{z}$在复平面内对应的点在第一象限，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据复数的基本运算法则即可求z；
（2）结合复数的几何意义进行求解．

解答 解：（1）由（z-2）i=-3-i，得zi=-3+i，…（2分）
所以z=$\frac{-3+i}{i}$=1+3i．…（6分）
（2）因为z=1+3i．
所以$\frac{x+i}{z}$=$\frac{x+i}{1+3i}=\frac{（x+i）（1-3i）}{10}$=$\frac{1}{10}$[（x+3）+（1-3x）i]，…（10分）
因为$\frac{x+i}{z}$对应的点在第一象限，
所以$\left\{\begin{array}{l}{x+3＞0}\\{1-3x＞0}\end{array}\right.$解得-3＜x＜$\frac{1}{3}$．
所以，实数x的取值范围是（-3，$\frac{1}{3}$）．…（14分）

点评 本题主要考查复数的基本运算和复数的几何意义，考察学生的运算能力．