Question

2．已知△ABC的三内角A、B、C满足关系式cos²A+cos²B+cos²C=1，请判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 由已知可得sin²A+sin²B+sin²C=2，由余弦定理及正弦定理可得sin²C=sin²A+sin²B-2sinAsinBcosC，由三角函数恒等变换可得2sinAsinBcosC=2cosC（cosAcosB+sinAsinB），既有cosCcosAcosB=0，由于A+B+C=180°且A，B，C均大于0°，从而可得CosA、cosB、cosC之中至少有一个是0，即可得解．

解答 解：∵若cos²A+cos²B+cos²C=1，
∴3-（sin²A+sin²B+sin²C）=1，
∴sin²A+sin²B+sin²C=2．
而，sin²C=sin²A+sin²B-2sinAsinBcosC，（余弦定理，正弦定理结合）
则有，2sin²A+2sin²B-2sinAsinBcosC=2，
则，2sinAsinBcosC=2sin²A+2sin²B-2
=-cos（2A）-cos2B=-2cos（A+B）cos（A-B）=2cosCcos（A-B）
=2cosC（cosAcosB+sinAsinB），
即，cosCcosAcosB=0，A+B+C=180°且A，B，C均大于0°．
CosA、cosB、cosC之中至少有一个是0．
即 A、B、C 之中至少有一个是90°，
故三角形ABC为直角△．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，综合性技巧性较强，属于中档题．