Question

5．斜率为$\frac{1}{2}$的直线l经过抛物线x²=4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点，可得直线l的方程，代入抛物线方程，由韦达定理和弦长公式，计算即可得到．

解答 解：由抛物线x²=4y的焦点为F（0，1），
所以斜率为$\frac{1}{2}$的直线l的方程为$y=\frac{1}{2}x+1$．
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$得（2y-2）²=4y，
即y²-3y+1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=3，
所以|AB|=y₁+y₂+p=3+2=5．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线的位置关系，注意运用韦达定理和弦长公式，属于中档题．