Question

8．若函数f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值是16．

Answer 1

分析 由题意得f（-1）=f（-3）=0且f（1）=f（-5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=-x⁴-8x³-14x²+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得到f（x）的最大值

解答 解：∵函数f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，
∴f（-1）=f（-3）=0且f（1）=f（-5）=0，
即[1-（-3）²][（-3）²+a•（-3）+b]=0且[1-（-5）²][（-5）²+a•（-5）+b]=0，
解之得a=8，b=15，
因此，f（x）=（1-x²）（x²+8x+15）=-x⁴-8x³-14x²+8x+15，
求导数，得f′（x）=-4x³-24x²-28x+8=$-4（x+2）（x+2+\sqrt{5}）（x+2-\sqrt{5}）$
当x∈（-∞，$-2-\sqrt{5}$）∪（-2，$-2+\sqrt{5}$）时，f'（x）＞0，
当x∈（-2-$\sqrt{5}$，-2）∪（$-2+\sqrt{5}$，+∞）时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，$-2-\sqrt{5}$）单调递增，在（$-2-\sqrt{5}$，-2）单调递减，在（-2，-2$+\sqrt{5}$）单调递增，在（-2$+\sqrt{5}$，+∞）单调递减，
故当x=-2$-\sqrt{5}$和x=$-2+\sqrt{5}$时取极大值，
$f（-2-\sqrt{5}）$=$f（-2+\sqrt{5}）$=16．
故答案为：16．

点评 本题给出多项式函数的图象关于x=-2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．