Question

数列{a_n}中a₁=1，前n项的和S_n满足关系式4tS_n-（3t+4）S_n-1=4t（t＞0，n=2，3，4，…）
（1）求证：数列{a_n}为等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，bn=f(

1

bn-1

)，求和：P=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1．

Answer 1

分析：（1）利用a_n=S_n-tS_n-1，求得数列{a_n}的递推式，整理得

an

an-1

=

(4+3t)

4t

（n≥3）进而可推断出n≥3时，数列成等比数列，然后分别求得a₁和a₂，验证亦符合，进而可推断出{a_n}是一个首项为1，公比为

(4+3t)

4t

的等比数列．
（2）把f（t）的解析式代入b_n，进而可知bn=f(

1

bn-1

)=bn-1+

3

4

，，判断出{b_n}是一个首项为1，公差为的等差数列．{b_n}是等差数列．进而可推断出{b_2n-1}和{b_2n}也是等差数列，进而用分组法求得b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1和

解答：解：（1）∵n≥3时，4tS_n-1-（3t+4）S_n-2=4t
∴4tS_n-（3t+4）S_n-1=4t
两式相减得：4ta_n=（4+3t）a_n-1所以

an

an-1

=

(4+3t)

4t

（n≥3）
 又n=2，a2=

4+3t

4t

，

a2

a1

=

4+3t

4t

∴{a_n}为等比数列，且公比为

4+3t

4t

．
（2）∵bn=f(

1

bn-1

)=bn-1+

3

4

，
∴数列{b_n}是以b₁=1为首项，以

3

4

为公差的等差数列，
 通项公式为bn=

3n+1

4

，

P=b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1 =b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+b2n(b2n-1-b2n+1) =-2d(b2+b4+…+b2n)

易知{b_2n}也是等差数列∴p=(-2d )

(b2+ bn)•n

2

=（-2）×

3

4

×

7 4 +  6n+1 4

2

=-

9n2+12n

8

．

点评：本题主要考查了等比关系的确定．考查了学生计算，综合分析问题，解决问题的能力．用到的知识点有数列中a_n与s_n关系的应用，等差数列的判定及前项和计算公式，分组求和法．