Question

建造一个容积为8 m³.深为2 m的长方体形无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为120 元/m²和80元/m².

(1)求总造价关于一边长的函数解析式,并指出该函数的定义域;

(2)判断(1)中函数在(0,2)和［2,+∞)上的单调性并用定义法加以证明;

(3)如何设计水池尺寸,才能使总造价最低.

Answer 1

解析:(1)设一边长为x,则由该水池容积为8,得另一边长为,?

总造价y=120·x·+80·(2··2+2·2x)?

=480+320·(+x),x∈(0,+∞).?

(2)任取x₁,x₂∈(0,2)且x₁＜x₂,则?

f(x₁)-f(x₂)=480+320·(+x₁)-480-320·(+x₂)

=320(+x₁--x₂)

=320［+(x₁-x₂)］

=320(x₁-x₂)(1-).

∵x₁,x₂∈(0,2),x₁＜x₂,?

∴＞1,x₁-x₂＜0.?

∴f(x₁)-f(x₂)＜0.?

∴f(x₁)＜f(x₂).?

∴y=480+320(+x)在(0,2)上是增函数.?

同理可证,y=480+320(+x)在［2,+∞)上是减函数.?

(3)当x=2时,y=480+320(+x)最小,此时造价最低.?

此时=2,当此水池为边长是2 m的正方体时,造价最低.

答案:(1)y=480+320(x+),x∈(0,+∞);?

(2)单调性略;?

(3)当x=2时,费用最低.