Question

1．设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，其中a₁=1，且$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=λa_n+1（n∈N⁺）
（1）求常数λ的值，并写出{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=$\frac{1}{{μ}^{{a}_{n}}}$（μ＞1），数列{b_n}的前n项和为T_n，若对任意的n≥2，都有T_n$＞\frac{2}{3}$成立，求μ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，且$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=λa_n+1（n∈N⁺），分别取n=1，2，可得a₂，a₃，利用数列{a_n}的为等差数列，可得2a₂=a₁+a₃，解得λ，再利用通项公式即可得出；
（2）b_n=$\frac{1}{{μ}^{{a}_{n}}}$=$\frac{1}{{μ}^{n}}$，可得数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{μ}+\frac{1}{{μ}^{2}}$+…+$\frac{1}{{μ}^{n}}$，判断数列{T_n}是单调性，即可得出．

解答 解：（1）由a₁=1，且$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=λa_n+1（n∈N⁺），分别取n=1，2，可得a₂=$\frac{1}{λ}$，${a}_{3}=1+\frac{1}{λ}$，
∵数列{a_n}的为等差数列，
∴2a₂=a₁+a₃，
∴$\frac{2}{λ}=1+1+\frac{1}{λ}$，解得λ=$\frac{1}{2}$，
∴d=a₂-a₁=2-1=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）b_n=$\frac{1}{{μ}^{{a}_{n}}}$=$\frac{1}{{μ}^{n}}$，∴数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{μ}+\frac{1}{{μ}^{2}}$+…+$\frac{1}{{μ}^{n}}$，
∵T_n+1-T_n=$\frac{1}{{μ}^{n+1}}$＞0，
∴数列{T_n}是单调递增数列，
∵对任意的n≥2，都有T_n$＞\frac{2}{3}$成立，
∴T₂=$\frac{1}{μ}$+$\frac{1}{{μ}^{2}}$$＞\frac{2}{3}$，又1＜μ，解得1＜μ＜$\frac{3+\sqrt{33}}{4}$，
∴μ的取值范围是$（1，\frac{3+\sqrt{33}}{4}）$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推式的应用、数列的单调性、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．