Question

12．已知抛物线x²=4y，过点P（0，2）作斜率分别为k₁，k₂的直线l₁，l₂，与抛物线分别交于两点，若k₁k₂ =-$\frac{3}{4}$，则四个交点构成的四边形面积的最小值为（　　）

• A． 18$\sqrt{3}$
• B． 20$\sqrt{3}$
• C． 22$\sqrt{3}$
• D． 24$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设直线l₁：y=k₁x+2，l₂：y=k₂x+2，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，结合条件，化简整理，令t=k₁-k₂，设k₁＞0，k₂＜0，再由基本不等式和二次函数的性质，即可求得最小值．

解答 解：设直线l₁：y=k₁x+2，l₂：y=k₂x+2，
将y=k₁x+2代入抛物线方程，可得x²-4k₁x-8=0，
即有x₁+x₂=4k₁，x₁x₂=-8，
则弦长AC=$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{2+{{k}_{1}}^{2}}$，
同样可得弦长BD=4$\sqrt{1+{{k}_{2}}^{2}}$•$\sqrt{2+{{k}_{2}}^{2}}$，
由于k₁k₂=-$\frac{3}{4}$，设k₁＞0，k₂＜0，两直线的夹角θ的正切为tanθ=|$\frac{{k}_{1}-{k}_{2}}{1+{k}_{1}{k}_{2}}$|=4|k₁-k₂|，
四边形ABCD的面积为S=$\frac{1}{2}$AC•BD•sinθ=8（$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{1+{{k}_{2}}^{2}}$）•（$\sqrt{2+{{k}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{2+{{k}_{2}}^{2}}$）sinθ
=8$\sqrt{1+\frac{9}{16}+{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}}$•$\sqrt{4+\frac{9}{16}+2（{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}）}$•$\frac{4|{k}_{1}-{k}_{2}|}{\sqrt{1+16（{k}_{1}-{k}_{2}）^{2}}}$
=8（k₁-k₂）$\sqrt{\frac{73}{16}+2（{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}）}$，
令t=k₁-k₂=k₁+$\frac{3}{4{k}_{1}}$≥2$\sqrt{\frac{3}{4}}$=$\sqrt{3}$，
则有S=8t$\sqrt{\frac{25}{16}+2{t}^{2}}$=8$\sqrt{{t}^{2}（\frac{25}{16}+2{t}^{2}）}$≥8$\sqrt{3×（\frac{25}{16}+6）}$=22$\sqrt{3}$．
当且仅当k₁=-k₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$取得最小值，
即有四边形面积的最小值为22$\sqrt{3}$．
故选C．

点评 本题考查抛物线的方程的运用，主要考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，同时考查基本不等式的运用，属于中档题．