Question

4．已知圆O的方程为x²+y²=1，设圆O与x轴交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一旦，直线PM交直线l：x=3于点P′，直线QM交直线l于点Q′，求证：以P′Q′为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析 由已知我们易求出P，Q两个点的坐标，设出M点的坐标，我们可以得到点P′与Q′的坐标（含参数），进而得到以P′Q′为直径的圆的方程，根据圆的方程即可判断结论．

解答 证明：对于圆O的方程x²+y²=1，令x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．
又直线l方程为x=3，设M（s，t），
则直线PM方程为y=$\frac{t}{s+1}$（x+1）．
令x=3，得P'（3，$\frac{4t}{s+1}$），
同理可得：Q'（3，$\frac{2t}{s-1}$）．
所以圆C的圆心C的坐标为（3，$\frac{3st-t}{{s}^{2}-1}$），半径长为|$\frac{st-3t}{{s}^{2}-1}$|，
又点M（s，t）在圆上，又s²+t²=1．故圆心C为（3，$\frac{1-3s}{t}$），半径长|$\frac{3-s}{t}$|．
所以圆C的方程为（x-3）²+（y-$\frac{1-3s}{t}$）²=（$\frac{3-s}{t}$）²，
即（x-3）²+y²-$\frac{2（1-3s）y}{t}$+$\frac{（1-3s）^{2}}{{t}^{2}}$-$\frac{（3-s）^{2}}{{t}^{2}}$=0，
即（x-3）²+y²-$\frac{2（1-3s）y}{t}$+$\frac{8（{s}^{2}-1）}{{t}^{2}}$=0，
又s²+t²=1，
故圆C的方程为（x-3）²+y²-$\frac{2（1-3s）y}{t}$-8=0，
令y=0，则（x-3）²=8，
所以圆C经过定点，y=0，则x=3±2$\sqrt{2}$，
所以圆C经过定点且定点坐标为（3±2$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题考查的知识是直线和圆的方程的应用，主要考查圆的方程的求法，同时考查圆恒过定点的求法，注意转化为圆系方程是解答本题的关键．