Question

11．已知M（2，4）是抛物线y²=8x上一定点，A，B是抛物线上异于M的两个动点，若MA⊥MB，直线AB必过的定点的坐标为（　　）

• A． （8，-4）
• B． （10，-4）
• C． （10，4）
• D． （8，4）

Answer 1

分析 设A$（\frac{{y}_{1}^{2}}{8}，{y}_{1}）$，B$（\frac{{y}_{2}^{2}}{8}，{y}_{2}）$，由于MA⊥MB，可得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，化为：80=-4（y₁+y₂）-y₁y₂，直线AB的方程为：8x=（y₁+y₂）y-y₁y₂．比较即可得出．

解答 解：设A$（\frac{{y}_{1}^{2}}{8}，{y}_{1}）$，B$（\frac{{y}_{2}^{2}}{8}，{y}_{2}）$，
∵MA⊥MB，
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=$（\frac{{y}_{1}^{2}}{8}-2，{y}_{1}-4）$$•（\frac{{y}_{2}^{2}}{8}-2，{y}_{2}-4）$=0，
∴$\frac{{y}_{1}^{2}{y}_{2}^{2}}{64}-\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$+20+y₁y₂-4（y₁+y₂）=0，
化为y₁y₂+48=-4（y₁+y₂+8），即80=-4（y₁+y₂）-y₁y₂，（*）
直线AB的方程为：$y-{y}_{1}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{y}_{1}^{2}-{y}_{2}^{2}}{8}}$$（x-\frac{{y}_{1}^{2}}{8}）$，化为8x=（y₁+y₂）y-y₁y₂．（**）
比较（*）（**）可得：直线AB必过的定点的坐标为（10，-4）．
故选：B．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、直线的点斜式、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．