Question

7．已知函数f（x）=e^x-ax²-bx-1，其中a、b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 由f（x）求导得g（x）=f′（x）=e^x-2ax-b，再求导得g′（x）=e^x-2a，从而讨论a以确定导数的正负，从而确定函数在区间[0，1]上的单调性，由单调性确定最小值点及最小值即可．

解答 解：∵f（x）=e^x-ax²-bx-1，
∴g（x）=f′（x）=e^x-2ax-b．
所以g′（x）=e^x-2a．
当x∈[0，1]时，g′（x）∈[1-2a，e-2a]．
当a≤$\frac{1}{2}$时，g′（x）≥0，所以g（x）在[0，1]上单调递增．
因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1-b；
当a≥$\frac{e}{2}$时，g′（x）≤0，所以g（x）在[0，1]上单调递减，
因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e-2a-b；
当$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{e}{2}$时，令g′（x）=0得x=ln（2a）∈（0，1）．
所以函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间（ln（2a），1]上单调递增．
于是，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b；
综上所述，
当a≤$\frac{1}{2}$时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1-b；
当$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{e}{2}$时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b；
当a≥$\frac{e}{2}$时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e-2a-b．

点评 本题考查了导数的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思想应用，属于中档题．