Question

15．已知f（x）=（1+$\frac{1}{tanx}$）sin²x-2sin（x+$\frac{π}{4}$）•sin（x-$\frac{π}{4}$）．
（1）若tanα=2，求f（α）的值；
（2）若x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，由tanα=2可得sin2α=$\frac{4}{5}$，cos2α=-$\frac{3}{5}$，代值计算可得f（a）的值；
（2）由x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]结合三角函数的性质可得f（x）的取值范围．

解答 解：（1）化简可得f（x）=（1+$\frac{1}{tanx}$）sin²x-2sin（x+$\frac{π}{4}$）•sin（x-$\frac{π}{4}$）
=（1+$\frac{cosx}{sinx}$）sin²x-2sin[（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{2}$]•sin（x-$\frac{π}{4}$）
=$\frac{sinx+cosx}{sinx}$sin²x-2cos（x-$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$）
=sinx（sinx+cosx）-sin（2x-$\frac{π}{2}$）
=sin²x+sinxcosx+cos2x
=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x+cos2x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，
∵tanα=2，∴sin2α=2sinαcosα=$\frac{2sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$，
同理可得cos2α=$\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$=-$\frac{3}{5}$
∴f（α）=$\frac{1}{2}$sin2α+$\frac{1}{2}$cos2α+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{5}$；
（2）∵x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{5π}{12}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$∈[0，$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$]，
∴f（x）的取值范围为[0，$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$]．

点评 本题考查两角和与差的正弦函数，涉及二倍角公式和三角函数的值域，属中档题．