Question

2．已知函数f（x）=lnx-ax+$\frac{{x}^{2}}{2}$．
（1）若f（x）为定义域内的单调函数，求实数a的取值范围；
（2）判断函数f（x）的单调性；
（3）对于n∈N₊，求证：4ln（n+1）＜[2²+（$\frac{3}{2}$）²+…+（$\frac{n+1}{n}$）²]-[（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{2}{3}$）²+…+（$\frac{n}{n+1}$）²]．

Answer 1

分析 （1）利用导数判断函数单调性，转化为恒成立问题，求函数的最值即可．
（2）利用（1）的结果，讨论a＞2时函数的单调性即可．
（3）利用（2）函数的单调减区间，方程的根推出$4[ln（n+1）-lnn]＜{（\frac{n+1}{n}）}^{2}-{（\frac{n}{n+1}）}^{2}$，然后利用累加法推出结果即可．

解答 解：函数f（x）=lnx-ax+$\frac{{x}^{2}}{2}$．
则函数f′（x）=$\frac{1}{x}$-a+x=$\frac{{x}^{2}-ax+1}{x}$，x＞0．
（1）∵f（x）为定义域内的单调函数，∴x²-ax+1≥0恒成立．∴a$≤\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$恒成立，
∵x+$\frac{1}{x}$≥2（当且仅当x=1时取等号）∴a≤2．
（2）由（1）可知a≤2时函数是增函数，
当a＞2时，x²-ax+1=0，可得${x}_{1}=\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，${x}_{2}=\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，
∵x₁+x₂=a＞0，x₁•x₂=1，可知0＜x₁＜1＜x₂，
当x∈（0，x₁）时，f（x）递增，x∈[x₁，x₂]时，函数单调递减，x∈（x₂，+∞）时，函数单调递增．
综上：a≤2时，函数的单调增区间（0，+∞）．
a＞2时，函数的单调增区间（0，x₁）和（x₂，+∞），单调减区间[x₁，x₂]．
（3）由（2）可知，f（x）在[x₁，x₂]，函数单调递减，则f（x₁）＞f（x₂）．
令x₁=$\frac{n}{n+1}$，${x}_{2}=\frac{n+1}{n}$，可知当a=$\frac{n}{n+1}+\frac{n+1}{n}$时，x₁，x₂是方程x²-ax+1=0的两个根，
∴$ln\frac{n}{n+1}-（\frac{n}{n+1}+\frac{n+1}{n}）•\frac{n}{n+1}+\frac{1}{2}（\frac{n}{n+1}）^{2}＞$$ln\frac{n+1}{n}-（\frac{n}{n+1}+\frac{n+1}{n}）•\frac{n+1}{n}+\frac{1}{2}（{\frac{n+1}{n}）}^{2}$，
化简可得：$4[ln（n+1）-lnn]＜（\frac{n+1}{n}）^{2}-（\frac{n}{n+1}）^{2}$，
分别令n=1，2，3，…，n-1，n，得到n个式子相加，可得
4ln（n+1）＜[2²+（$\frac{3}{2}$）²+…+（$\frac{n+1}{n}$）²]-[（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{2}{3}$）²+…+（$\frac{n}{n+1}$）²]．13分．

点评 本题考查函数的单调性以及函数的导数的应用，考查分类讨论以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．