Question

14．已知函数f（x）=2lnx-x²-ax+3，其中a∈R．
（Ⅰ）设曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x-y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的导数，根据切线的斜率是2，求出a的值即可；
（Ⅱ）问题转化为a≥$\frac{2}{x}$-2x，先求出函数g（x）的单调区间，从而求出函数的最大值，进而求出a的范围．

解答 解：f′（x）=$\frac{2}{x}$-2x-a（x＞0），
（Ⅰ）由f′（1）=-a-1=2，解得：a=-3，；
（Ⅱ）由题意得：f′（x）≤0在x∈[$\frac{1}{e}$，e]恒成立，
即：a≥$\frac{2}{x}$-2x，
令g（x）=$\frac{2}{x}$-2x，则：g′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$-2＜0，
∴g（x）在[$\frac{1}{e}$，e]递减，
∴g（x）_max=g（$\frac{1}{e}$）=2e-$\frac{2}{e}$，
∴a≥2e-$\frac{2}{e}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查函数恒成立问题，是一道中档题．