Question

2．已知数列{a_n}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，公差与公比均为2，并且a₂+a₄=a₁+a₅，a₇+a₉=a₈．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求使得a_m•a_m+1•a_m+2=a_m+a_m+1+a_m+2成立的所有正整数m的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件，求解该数列的前两项，可得数列{a_n}的通项公式；
（2）根据所给的等式确定m的值．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，公差与公比均为2，
∴a₃=a₁+2，a₅=a₁+4，a₇=a₁+6，
a₄=2a₂，a₆=4a₂，
∵a₂+a₄=a₁+a₅，a₄+a₇=a₆+a₃
∴a₂+2a₂=a₁+4+a₁，2a₂+6+a₁=4a₂+2+a₁
∴a₁=1，a₂=2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n为奇数}\\{{2}^{\frac{n}{2}，n为偶数}}\end{array}\right.$；
（2）∵a_m•a_m+1•a_m+2=a_m+a_m+1+a_m+2成立，
∴由上面可以知数列{a_n}为：1，2，3，4，5，8，7，16，9，…
当m=1时等式成立，即 1+2+3=-6=1×2×3；等式成立．
当m=2时等式成立，即2×3×4≠2+3+4；等式不成立．
当m=3、4时等式不成立；
当m≥5时，
∵a_m•a_m+1•a_m+2为偶数，a_m+a_m+1+a_m+2为奇数，
∴可得m取其它值时，不成立，
∴m=1时成立．

点评 本题重点考查了等差数列的概念和基本性质、等比数列的概念和基本性质等知识，属于中档题．解题关键是准确应用等差和等比数列的基本性质求解问题．