Question

12．已知sinα+cosα=$\sqrt{2}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），则tanα=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 把已知条件 sinα+cosα=$\sqrt{2}$两边平方后，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα-cosα=0，两者联立求出sinα和cosα的值，即可得到tanα的值．

解答 解：由sinα+cosα=$\sqrt{2}$＞0，两边平方得（sinα+cosα）²=2，化简得1+2sinαcosα=2，
即2sinαcosα=1，
∴1-2sinαcosα=0，且 α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴有sinα-cosα=0，与sinα+cosα=$\sqrt{2}$，联立解得sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=1．
故选：D．

点评 本题的考点是同角三角函数的基本关系，主要考查同角的平方关系及商数关系，关键首先必须i对角α的范围进行讨论，这充分体现了“函数问题，范围先行（尤其是三角函数问题）”的解题基本原则．要求学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值．