Question

3．函数f（x）=x²+ax+b，（x∈R），有两个不等的实数根，都在（0，1）之间．求b²+ab+b的取值范围．

Answer 1

分析 首先利用二次函数的关系式，把b²+ab+b转化成f（0）f（1），进一步利用根和系数的关系建立不等式最后确定结果

解答 解：二次函数f（x）=x²+ax+b的零点为x₁和x₂，且0＜x₁＜x₂＜1，
且二次函数f（x）在区间（0，1）上与x轴有两个不同的交点，
则：f（0）=b=x₁x₂＞0，
f（1）=1+a+b=（1-x₁）（1-x₂）=1+a+b＞0
f（0）f（1）=b²+ab+b=x₁x₂（1-x₁）（1-x₂）≤（$\frac{{x}_{1}+1-{x}_{1}}{2}$）²•（$\frac{{x}_{2}+1-{x}_{2}}{2}$）²=$\frac{1}{16}$
所以：0＜b²+ab+b≤$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查的知识要点：二次函数的零点和一元二次方程的根的关系，基本不等式的应用，及相关的运算；属于中档题