Question

2．定义：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b），满足f′（x₁）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}，{f^'}（{x_2}）=\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，则称函数y=f（x）在区间[a，b]上是一个双中值函数，已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}$+a是区间[0，a]上的双中值函数，则实数a的取值范围是（$\frac{3}{2}$，3）．

Answer 1

分析 先求出函数f（x）的导数，问题转化为：方程${x^2}-2x=\frac{1}{3}{a^2}-a$在区间[0，a]有两个解，解不等式组解出即可．

解答 解：由题意可知，在区间[0，a]上存在x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜a），
满足${f^'}（{x_1}）={f^'}（{x_2}）=\frac{f（a）-f（0）}{a-0}=\frac{{\frac{1}{3}{a^3}-{a^2}}}{a}=\frac{1}{3}{a^2}-a$，
∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+a$，
∴f′（x）=x²-2x，
∴方程${x^2}-2x=\frac{1}{3}{a^2}-a$在区间[0，a]有两个解，
令$g（x）={x^2}-2x-\frac{1}{3}{a^2}+a，（0＜x＜a）$，
则$\left\{\begin{array}{l}△=4+\frac{4}{3}{a^2}-4a＞0\\ g（0）=\frac{1}{3}{a^2}+a＞0\\ g（a）=\frac{2}{3}{a^2}-a＞0\\ a＞1\end{array}\right.$，解得：$\frac{3}{2}＜a＜3$，
故答案为：$（\frac{3}{2}，3）$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查导数的应用，解不等式问题，理解所给 定义是解题的关键，本题是一道中档题．