Question

4．已知函数f（x）=x+$\frac{4}{x-1}$，定义域为D．
（Ⅰ）若D=（1，+∞），求函数的f（x）最小值；
（Ⅱ）若D=（-∞，1）∪（1，+∞）时，（x-1）f（x）＞mx恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因为x＞1，对函数的f（x）变形为积为定值的情况，利用基本不等式求最值；
（Ⅱ）将所求转化为二次不等式x²-（m+1）x+4＞0恒成立的问题解答．

解答 解：（Ⅰ）当D=（1，+∞），即x＞1，∴$\frac{4}{x-1}$＞0，x1＞0…（2分）
∴f（x）=x+$\frac{4}{x-1}$=x-1+$\frac{4}{x-1}$+1$≥2\sqrt{（x-1）\frac{4}{x-1}}$+1=5（当且仅当x=3取等号）
∴函数的f（x）最小值为5．…（6分）
（Ⅱ）D=（-∞，1）∪（1，+∞）时，（x-1）f（x）＞mx恒成立，化为x²-（m+1）x+4＞0恒成立，
当△=（m+1）²-16＜0即-5＜m＜3时，x²-（m+1）x+4＞0恒成立…（10分）
当△=（m+1）²-16=0即m=3或m=-5时，均不合题意
综上所述，-5＜m＜3．…（12分）

点评 本题考查了利用基本不等式求函数的最值以及二次函数恒成立问题；利用基本不等式时注意不等式成立的三个条件．